参考消息网11月12日报道 据西班牙《阿贝赛报》网站10月11日报道，阿蒂亚猜想，一个关于如何计算无限空间中孔洞数量的问题，最初只是源于数学上的好奇心，而半世纪后，它却将几何学、代数和群论联系在了一起。

有趣味

数学家如何判断哪些问题足够有趣，值得投入数年的心血和精力？有时这取决于提出问题者的声望。一个最初只是出于好奇而提出的小问题便是如此，但随着时间的推移，它被人发现与数学的多个领域有着深刻的联系。这就是阿蒂亚猜想，它以英国数学家迈克尔·阿蒂亚的名字命名，他也是20世纪最具影响力的数学家之一。

在他最著名的成果中（这些成就使他荣获了菲尔兹奖和阿贝尔奖这两项数学界的最高荣誉），就包括阿蒂亚-辛格指标定理。他和美国数学家伊萨多·辛格提出的该定理在分析学与拓扑学之间架起了一座桥梁。在一段鲜为人知的故事中，阿蒂亚曾不经意地提出了一个关于某些数字与几何空间相关联的问题，即所谓的L2-贝蒂数。

数十年来，人们为解答这一问题所做的尝试催生了新的数学技术，其成果远超出最初问题的范畴。这与著名的费马大定理的情况颇为相似。它最初只是关于一个方程的整数解的一个简单断言。约1637年，法国数学家皮埃尔·德费马在他那本丢番图的《算术》书页边缘写下了一段批注，紧邻着一个关于如何将一个平方数分解为两个平方数之和的问题。他在批注中断言，当指数大于2时，该方程不存在整数解，并声称自己掌握了一个证明，但证明内容无法写在书页的空白处。

然而，直到1995年，英国数学家安德鲁·怀尔斯才借助椭圆曲线和模形式这两个庞大的数学理论体系，最终成功证明了这一命题。

就阿蒂亚而言，这个问题是在他为一项新理论奠定基础时产生的。指标定理在其原始表述中适用于某些几何空间，即所谓的紧致流形，如圆周或球面，而这些空间是有限的。阿蒂亚的想法是将该定理推广到平面等无限空间，即所谓的非紧致空间。为此，他开创了L2-贝蒂数理论，这是几何空间中经典贝蒂数的解析类比。

新理论

任何几何空间（如球面或环面），都与一组无限的贝蒂数相关联，这些数大致上统计了其孔洞的数量。一个几何体的第一贝蒂数统计其一维孔洞；第二贝蒂数统计其二维孔洞，以此类推。一维孔洞是指可以用一个环绕它的一条线圈完全包围，且该线圈无法收缩至一点的孔洞。因此，圆周的第一贝蒂数为1：圆周本身就包围了中心的孔洞。相反，一个球体（如足球表面）的第一贝蒂数为0，因为在球体表面绘制的任何环都可以沿着表面滑动，最终收缩成一个点。二维孔洞则是表面能够以同样方式包围的凹陷。因此，球体的第二个贝蒂数为1，因为它所包围的空洞被视为一个二维孔洞。

贝蒂数对于紧致空间非常适用，但对于非紧致空间却并非如此。非紧致空间通常过于复杂，难以进行系统研究，因此阿蒂亚将研究重点放在了一类特殊空间上：高度对称的空间。针对这类空间，他定义了L2-贝蒂数。每个L2-贝蒂数的定义和计算都比其经典对应数要困难得多。

L2-贝蒂数不计入孔洞。事实上，一些研究最深入的空间，如双曲平面根本没有孔洞。不妨将一个高度对称的空间想象成由相同瓷砖复制品构成的无限图案。粗略地说，其L2-贝蒂数反映了当人们向无穷远处移动时，该空间的增长速度。要精确阐述这一想法，需要借助分析学的工具。虽然经典的贝蒂数总是整数（因为它们源于计数），但并没有明显的理由表明新的贝蒂数也必须是整数。

这促使阿蒂亚在1976年的论文结尾提出了以下问题：“先验地看，L2-贝蒂数是实数。请给出它们不是整数的例子。”这一表述暗示阿蒂亚曾期望此类例子存在。然而，最终被公认为“阿蒂亚猜想”的，却是与其相反的预测，即L2-贝蒂数总是整数。

按照原始表述，阿蒂亚猜想是错误的。事实上，已有许多具体例子被构造出来，与之相矛盾。它们都有一个共同点：其对称性蕴含了大量数学家所称的“挠率”。当一种对称性被重复有限次后，一切都会回到初始位置时，该对称性就被认为具有“挠率”，例如旋转四分之一圈的情况。数学家通常将具有如此高挠率的空间视为“病态”空间，因此这些反例并不完全令人意外，而且它们显然并非阿蒂亚当时所设想的那类空间。因此，人们开始质疑：若排除这些扭度极高的例子，该猜想是否依然成立。在现代表述中，该猜想预测，在没有挠率的情况下，L2-贝蒂数总是整数。

交汇点

目前尚无人知晓这一预测是否成立，尽管该问题已取得重大进展。1993年，美国弗吉尼亚理工大学数学系教授彼得·林内尔证明了阿蒂亚猜想等价于环论（代数学的一个分支）中的另一个代数命题。这个例子表明，两个截然不同的领域（这里为几何学与代数学）之间存在着深刻的联系。

借助这种代数方法，西班牙数学家安德烈·海金-萨皮拉因及其研究团队在该问题上取得了重大进展。2020年，他参与研究并证明，阿蒂亚猜想对一类非常广泛的空间成立，这极大地扩展了此前已知结果的范围。基于这一成果，其团队共同解决了50年前提出的鲍姆斯拉格-索利塔群。这原本是一个纯粹的代数群论问题，而阿蒂亚猜想对解决该问题竟起到了如此关键的作用，着实令人意外。

随着时间的推移，阿蒂亚猜想逐渐显露出与环论、群论及其他领域的深刻联系。这个最初或许仅因提出者声望而受到关注的问题在众多数学家的共同努力下，已演变为连接此前看似互不相关的数学领域的交汇点。或许这正是对“哪些问题值得投入心血”这一问题的答案之一：那些最终将人带往其提出者从未想象过之境的问题。（编译/刘丽菲）