参考消息网5月21日报道 《科学美国人》月刊网站4月19日刊登题为《一场文艺复兴时期的赌博争议如何催生概率论》的文章，作者是杰克·默塔，内容编译如下：

想象一下你和我在玩一场简单的运气游戏。我们各自往奖池里投入50美元，然后开始抛硬币。硬币正面朝上，你得一分；反面朝上，我得一分。率先得到10分的人可以拿走全部100美元。游戏开始了，目前比分是8比6，你领先。突然我的手机响了：有紧急情况，我必须马上离开。现在我们遇到一个问题。你不想直接把我的50美元还给我，因为你正处于领先位置。但我也不愿意把整个奖池都让给你，因为我仍有机会幸运地连赢几次，实现反超。那么怎样分配这笔钱才最公平？

150余年难题

这个难题被称为“点数问题”或“赌注分配问题”，数学家们被它难住了150多年。这是有充分原因的：这个问题首次被提出时，概率论还未被创立。17世纪两位伟大的数学家布莱兹·帕斯卡尔和皮埃尔·德·费马，在一系列著名的书信往来中探讨了这个问题。他们不仅找到了分配奖池的正确方法，还在这一过程中奠定了现代概率论的基础。时至今日，这一解法仍是各类风险评估的基础，帮助我们在从购买股票到为海边房屋投保等所有事情上做出更明智的判断。

1494年，意大利数学家卢卡·帕乔利在其教科书《算术、几何、比例和比例关系概要》中首次尝试解决点数问题。他提议，玩家应按照游戏中断时各自获得的分数比例来分配奖池。在我们刚才的例子中，你已经在14次抛硬币中赢了8次。按照帕乔利的解法，你应拿走奖池的8/14，约合57.14美元。我则拿走剩下的6/14。这个解法听起来合乎情理，但50多年后，尼科洛·丰塔纳(绰号“塔尔塔利亚”)发现，该方法在玩家分数差距悬殊的情况下会失效。如果游戏在只抛了一次硬币后就中断了呢？根据帕乔利的规则，这一次的赢家将拿走全部奖池，尽管游戏远未决出胜负。这显然是不公平的——而点数问题的核心正是寻求公平的分配方式。

塔尔塔利亚提出另一种分配方式。想象一下，在我们假设的游戏中，你比我多赢了两次。因为你的领先优势占总目标的1/5，所以塔尔塔利亚认为，你应该拿回自己的全部赌注，同时拿走我赌注的1/5：也就是你最初投入的50美元，再加上我的50美元的1/5，总计60美元。这种新方法看起来更为公平，尤其是在分数差距悬殊的情况下。现在，如果游戏在只抛一次硬币后中断，那么这次抛硬币的赢家只能拿走对手赌注的1/10，而非全部。帕乔利的方法是根据玩家截至目前的领先分数占已抛硬币次数的比例来奖励领先者，而塔尔塔利亚的方法是根据玩家的领先分数占游戏总目标分数的比例来奖励他们。不过，塔尔塔利亚对自己的创新方法心存疑虑。他说：“无论以何种方式分配，都会引发争执。”他认为不存在完美的数学解法，这个问题就是为了引发争论而设计的。事实证明，他质疑自身解法的态度至少是正确的。想象一场目标为200分的游戏，一名玩家得到199分，另一名玩家得到190分。按照塔尔塔利亚的方法，第一名玩家只能获得对手赌注的9/200，尽管其对手需要连续抛赢10次才能取胜。第一名玩家获得的微薄金额，几乎无法体现出他在游戏该阶段极大的获胜概率。

两种解题思路

这场争论一直没有进展，直到17世纪中叶，一位法国赌徒兼知识界名流向数学家布莱兹·帕斯卡尔寻求帮助。帕斯卡尔立刻意识到，解法不在于游戏中断时的比分，而在于比分未来的各种可能性，于是他写信给自己的朋友、同为数学家的皮埃尔·德·费马，请他协助自己证明这一点。两人的书信往来得出两种截然不同的解题思路。令人惊叹的是，他们迥异的方法总能得出相同的结果。这种一致性坚定了他们对自己研究成果的信心。今天的数学家们也一致认为，两人找到了最公平的赌注分配方式。

费马的解法是，列出游戏在中断后所有可能的后续进程，统计出每名玩家获胜的情况各有多少。分配给一名玩家的奖金在奖池中的占比，应等同于该玩家在未来所有可能性中获胜的概率。以我们刚才例子中目标为10分、比分8比6为例：费马会发现，这场游戏最多再抛5次硬币就会结束。费马的分配方法会列出这5次抛硬币的所有可能结果，然后统计出每位玩家累计达到10分的情况各有多少种。在有些情况中，玩家会在少于5次抛硬币时获胜，但这并无影响：我们可以假设，即便游戏提前结束，玩家仍会多抛几次硬币，只为方便统计。在游戏32种可能的后续情况中，第一名玩家获胜26次，因此他应获得奖池的26/32，即81.25%，也就是81.25美元。

费马的解法虽十分精妙，却存在一个重大缺陷：如果可能的后续情况多到无法一一列举该怎么办？即便游戏只剩下20次抛硬币，我们也需要考虑超过100万种假想情况，才能得出公平的分配方案。帕斯卡尔给出一个极具天赋的答案，并且在这一过程中，对后来出现的期望值概念做出了最早的阐释，而期望值至今仍是现代概率论的核心支柱。

帕斯卡尔的方法始于一个无可争议的前提：如果游戏在中断时双方比分持平，那么两名玩家应平分奖池。如果中断发生时比分是9比9，那么每位玩家都拿回50美元。接下来我们从这一情况反向推导。如果比分是9比8，第一名玩家领先，帕斯卡尔的方法会分析再抛一次硬币后会发生什么。领先的玩家有50%的概率赢下这次抛硬币，得到10分并拿走全部奖池。另一方面，另一名玩家也有50%的概率赢下这次抛硬币，将比分改为9比9平，这意味着双方应平分奖池。第一名玩家的奖金平均值为：

100美元的50%+50美元的50%=75美元。

因此，如果游戏在9比8的比分时中断，第一名玩家应拿走75美元。我们可以递归地应用这种推理，推算出任何情况下的合理分配方案。

关键在于分别算出再抛出一次正面和再抛出一次反面时你应得的公平金额，然后求出这两种可能性的平均值。

在9比7的比分下，第一名玩家应拿走87.50美元：再抛一次正面，他将得到100美元；再抛一次反面，他将得到75美元，这正是我们刚才分析的9比8情况下的应得金额。在9比6的比分下，他将得到93.75美元。在8比7的比分下，他将得到68.75美元，这是9比7比分下的应得金额与8比8比分下的应得金额的平均值。最后，在8比6的比分下，第一名玩家应获得：

93.75美元的50%+68.75美元的50%=81.25美元。

这与费马方法得出的结果完全一致。费马和帕斯卡尔见解相同：公平的分配取决于未来的各种可能性，应根据每种可能性发生的概率对其进行加权计算。如今我们将这些公式称为期望值，即所有未来可能结果的加权平均值。费马详尽地列举了这些未来的结果，考虑了接下来5次抛硬币的所有可能结果。帕斯卡尔则设计了一种巧妙的反向推导方法：你可以根据还剩4次抛硬币时的公平分配方案，计算还剩5次抛硬币时的公平分配方案，再根据还剩3次抛硬币时的公平分配方案计算还剩4次时的方案，以此类推。

驱动数学进展

期望值的概念并未局限于17世纪的室内游戏。它是驱动几乎所有现代风险评估的数学引擎。当精算师为人寿保险定价、华尔街分析师评估股票投资组合、赌徒权衡下注风险时，他们进行的都是完全相同的计算。他们将每种可能发生的情况所产生的财务影响与其发生概率相乘，再求出这些结果的总和，以此量化一项决策的价值。不确定性无法避免，而我们如今的科技发展水平，很大程度上归功于我们能够严谨地应对不确定性。数千年来，数学家们一直用毫无章法的猜测来处理与运气有关的问题。帕斯卡尔与费马的书信往来用一套理论框架取代了这种猜测。尽管我们依然无法预测未来，但至少知道如何为未来估值。（编译/卿松竹）